Контрольная работа по мат. анализу 17
1. Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.
1-10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. а) , б) .
А) Заменим на и У на . Получим
, сократим на : .
Следовательно, данное дифференциальное уравнение однородное первого порядка. Преобразуем уравнение: . Сделаем замену ,.
Тогда уравнение примет вид .
Сокращая дроби, получим .
Проведем некоторые преобразования: , слагаемые левой части приведем к общему знаменателю . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, поучим .
Интегрируем: , , , . Приняв во внимание, что , из последней формулы получаем общий интеграл уравнения ,
Б) .
Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое не содержит . Понизим порядок этого уравнения на 1, положив . Тогда , и исходное уравнение превращается в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно искомой функции и переменной : .
Разделив переменные, поучим .
Интегрируем: , , , .
Так как , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка , которое решается однократным интегрированием: .
Получили общее решение исходного уравнения .
11-12. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
11. , , .
Решение
Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид .
Характеристическое уравнение: имеет действительные различные корни: , .
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .
По виду функции , стоящей в правой части уравнения можно подобрать частное решение. Ей соответствует: .
Находим производные : , . Подставляем эти выражения в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты , :
, ,
;
Следовательно, частное решение имеет вид .
Так как общее решение неоднородного уравнения имеет вид , то .
Используя начальные условия:, , определяем и :
, , ;
, , , .
Следовательно, искомое частное решение будет .
2. Ряды
21-30. Найти область сходимости степенного ряда .
21.
Решение
По условию , .
Используя признак Даламбера для ряда из абсолютных величин, вычисляем предел
.
Определяем, при каких значениях X этот предел будет меньше 1, т. е. решаем неравенство < 1, | Х | < , – < X < .
По признаку Даламбера при любом значении X из найденного интервала данный ряд сходится, а при | Х | > расходится.
В граничных точках Х = ± этого интервала, для которых признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда. Исследуем степенной ряд на сходимость в граничных точках.
При х= получим числовой ряд который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся рядом Дирихле ; .
При х=- получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится по признаку Лейбница: 1) члены этого ряда убывают по абсолютному значению для всех n > 1, т. к. ; 2) предел общего члена ряда равен нулю ().
Следовательно, интервалом сходимости данного ряда является , и радиус сходимости .
31-40. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.
31.
Решение
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена
,
Тогда и
Имеем
Получен знакочередующийся ряд Лейбница, слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
41-50. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями в декартовых координатах, перейдя к полярным координатам, предварительно записывая формулу площади через двукратный интеграл в декартовых координатах с расстановкой пределов .
41. , ,
Решение
Искомую площадь удобно искать в полярных координатах. Известна связь декартовых координат с полярными:
, , .
Площадь плоской области находят по формуле: , или перейдя к полярным координатам: .
Запишем уравнения данных окружностей в полярных координатах. Имеем , или , что в полярных координатах имеет вид: , или . Аналогично полярное уравнение второй окружности примет вид: . Построим фигуру, ограниченную заданными кривыми:
Из рисунка видно, что полярный угол области изменяется от до , т. е. . Если из полюса 0 через область провести полярный радиус, то точка входа в область будет на окружности , а точка выхода из области на окружности , поэтому .
Таким образом, площадь области равна:
Т. к. .
Ответ:
51-60. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY.
51. , , , , ,
Решение
Чертеж данного тела: , – плоскости; – параболоид вращения, симметричный относительно оси ; , , – координатные плоскости. Пересекаясь, все эти поверхности образуют тело, объем которого необходимо вычислить: .
В данном случае тело проектируется на плоскость ХОУ в квадрат со стороной 4, следовательно, область интегрирования
Для вычисления тройного интеграла необходимо представить его в виде повторного.
Ответ:
61-70. Даны векторное поле и плоскость , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Требуется вычислить:
1)циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , являющемуся треугольником, ограничивающим плоскость , непосредственно и по формуле Стокса;
2)поток векторного поля через плоскость в сторону внешней нормали к ней;
3)поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.
61. ;
Решение
Приводим уравнение плоскости к виду , где – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
Поделим обе части уравнения на –4, получим .
Построим эту плоскость. По оси она отсекает 4; по оси она отсекает отрезок -4; по оси она отсекает –2.
Циркуляцию векторного поля находят по формуле:
.
Учитывая, что , , , получаем
,
Где – контур треугольником состоит из трех отрезков: , и , поэтому интеграл разбиваем на три интеграла:
1) по отрезку ; 2) по отрезку ; 3) по отрезку .
1). Уравнение прямой (– линия пересечения плоскости с координатной плоскостью ), имеет вид:
Так как , то
2). Уравнение прямой имеет вид:
Тогда
3). Уравнение прямой имеет вид:
Тогда
Вычисляем циркуляцию:
.
Вычисляем циркуляцию по формуле Стокса:
;
В формуле здесь , , – координаты векторного поля , – плоский треугольник . Имеем , , , тогда ; ; ; ; ; .
Отсюда получаем по формуле Стокса
Вычислим поток векторного поля по внешней стороне треугольника . Из уравнения плоскости находим:
; ; .
Запишем уравнение плоскости в виде: ; координаты нормального вектора плоскости , , тогда единичный вектор нормали равен .
Поток находим по формуле:
, где .
В нашем примере , найдем скалярное произведение и . Имеем:
Итак, .
Здесь треугольник это проекция треугольника на плоскость . Вместо подставим .
Тогда .
Тогда
Найдем поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении ее внешней нормали по формуле Остроградского: , где .
Так как , , , . Поэтому
, объем пирамиды равен .
Площадь основания равна площади треугольника , а высота равна . Имеем ; тогда , где .
Поэтому .
< Предыдущая | Следующая > |
---|