Функции матричного аргумента
Задание 1. Задана матрица . Найти .
Решение. Если матрица диагональная, т. е. может быть записана в виде , то значение функции матричного аргумента по определению вычисляется следующим образом:
.
Пусть квадратная матрица -го порядка с помощью некоторого преобразования подобия приведена к диагональному виду , т. е. , где − собственные значения матрицы , − матрица, составленная из собственных векторов, соответствующих собственным значениям. При этом , тогда по определению
При условии, что входят в область определения функции .
Составим характеристическое уравнение:
,
Его корни , . Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.
При : , откуда , тогда .
При : , т. е. , тогда .
Следовательно, , , тогда ,
.
Ответ: .
Задание 2. Найти матрицу , если .
Решение. Найдём собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы .
Характеристическое уравнение имеет корни , .
При : , тогда , т. е. .
При : , , значит, .
Следовательно, , . Так как , то по определению , т. е.
.
Легко проверить, что . Действительно,
.
Ответ: .
Задание 3. Найти матрицу , если .
Решение. Решая характеристическое уравнение , получим , . Найдём собственные векторы.
При : , тогда , .
При : , тогда , .
Следовательно, , , , тогда матрица , т. е. всего четыре матрицы.
.
Аналогично,
,
,
.
Проверкой можно убедиться в правильности выполненных действий. Так как , а , то достаточно проверить, что и что . Действительно,
и .
Ответ: , , , .
Задание 4. Найти матрицу , если .
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
, т. е. , значит, , .
Найдём собственные векторы матрицы .
При : , , .
При : , , т. е. .
Составим матрицу , тогда . Так как , то
.
Замечание. Очевидно, , так как . Легко убедиться в том, что . Действительно,
.
Ответ: .
Задание 5. Найти , если . Показать, что .
Решение. Найдём собственные значения матрицы:
,
Значит, , , .
Найдём собственные векторы матрицы .
При : , тогда ;
При : , и ;
При: , и .
Следовательно,
, .
Так как , то
.
Очевидно, , так как .
,
Значит, .
Ответ: .
< Предыдущая | Следующая > |
---|