Элементы теории множеств и теории нечётких множеств
Задание 1. На универсальном множестве заданы нечёткие множества и :
Найти нечёткие множества , .
Решение. По определению объединением нечётких множеств и называется наименьшее нечёткое множество , которое содержит как , так и , и Тогда
.
Пересечением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое множество , содержащееся одновременно в и , и Следовательно,
.
Разностью нечётких множеств и называется нечёткое множество, которое определяется соотношением . Определим сначала множество :
.
Так как , то
.
Ответ: ,
,
.
Задание 2. На универсальном множестве заданы нечёткие множества и :
Найти .
Решение. Нечёткое множество называется дизъюнктивной суммой нечётких множеств и и определяется соотношением
.
Найдём множества и :
,
.
Пользуясь определением операции пересечения нечётких множеств, найдём нечёткие множества и :
.
Окончательно получаем, что
.
Ответ: .
Задание 3. На универсальном множестве заданы нечёткие множества
И .
Проверить, какое из включений истинно: 1) ; 2) .
Решение.
1) Нечёткое множество содержит нечёткое множество , если . Данное условие не выполняется.
2) Нечёткое множество содержит нечёткое множество , если . Данное условие выполняется.
Ответ: 1) нет; 2) да.
Задание 4. Найти для заданного нечёткого множества ближайшее к нему обычное множество , евклидово расстояние и расстояние Хэмминга между этими множествами, а также относительные величины этих расстояний.
Решение. Функция принадлежности элемента универсального множества к множеству рассчитывается по правилу:
Очевидно, .
Вычислим евклидово расстояние и расстояние Хэмминга между множествами и :
,
,
Тогда относительное евклидово расстояние и относительное расстояние Хэмминга, соответственно, равны:
и .
Ответ: ;
; ; ; .
Задание 5. На универсальном множестве заданы нечёткие множества
и
.
Найти нечёткие множества: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) найти евклидово расстояние и расстояние Хэмминга между множествами и ; 6) найти относительные евклидово и Хэмминга расстояния между этими множествами.
Решение.
1) Нечёткое множество :
.
2) Нечёткое множество :
.
3) Нечёткое множество :
.
4) По определению . Тогда
.
5) Евклидово расстояние между множествами и :
.
Расстояние Хэмминга между множествами и :
.
6) Относительное евклидово расстояние:
.
Относительное расстояние Хэмминга:
.
Ответ:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) , ;
6) , .
< Предыдущая | Следующая > |
---|